這是一个證明/反驳的問题。

Given $\mathrm{E}(Y|X)=X$ and $\mathrm{E}(X|Y)=Y$ and both $\mathrm{E}(X^2)$ and $\mathrm{E}(Y^2)$ are finite, then $$P(X=Y)=1$$

如果我们以某種方式获得$ \ mathrm {Var}(X-y)= 0 $,則上述陳述可能為真。

所以,$ \ mathrm {Var}(X-y)= \ mathrm {Var}(X)+ \ mathrm {Var}(y)-2 \ mathrm {Cov}(X,y)$

$ \ qquad \ qquad \ qquad \四= \ mathrm {E}(X ^ 2) - [\ mathrm {E}(X)] ^ 2+ \ mathrm {E}(y ^ 2) - [\ mathrm {E}(y)] ^ 2-2 \ mathrm {E}(Xy)2 \ mathrm {E}(X)\ mathrm {E}(y)$

現在,$ - [\ mathrm {E}(X)] ^ 2 - [\ mathrm {E}(y)] ^ 2 + 2 \ mathrm {E}(X)\ mathrm {E}(y) = 0 $,因為$ \ mathrm {E}(X)= \ mathrm {E}(y)$。

所以,$ \ mathrm {Var}(Xy)= \ mathrm {E}(X ^ 2)+ \ mathrm {E}(y ^ 2)-2 \ mathrm {E}(Xy)$ $ - ( *)$

直接给出的解決方案說宣告$(*)$等於零,因此結果,但是 \ {開始}對齐 \ mathrm {E}(X ^ 2)& = \ mathrm {E}(X \ cdot X)= \ mathrm {E}(X \ mathrm {E}(y | X))\\ \ mathrm {E}(y ^ 2)& = \ mathrm {E}(y \ cdot y)\,= \ mathrm {E}(y \ mathrm {E}(X | y))\\ \ mathrm {E}(X \ cdot y)& = \ mathrm {E}(\ mathrm {E}(y | X)\ mathrm {E}(X | y)) \ {端對齐} 他们如何相互抵消?

最新回復
  • 2019-12-5
    1 #

    請註意

    $ \ mathbf {E}(X ^ 2)= \ mathbf {E}(X \,\ mathbf {E}(y \ mid X))= \ mathbf {E}(\ mathbf {E}(Xy \ mid X))= \ mathbf {E}(Xy)$

    $ \ qquad \ qquad = \ mathbf {E}(\ mathbf {E}(Xy | y))= \ mathbf {E}(y \,\ mathbf {E}(X \ mid y))= \ mathbf {E}(y ^ 2)$。

  • 2019-12-5
    2 #

    提示:你没有使用關於$ \ mathbb {E} [X | y] $和$ \ mathbb {E}的假設[y | X] $在你的計算中......

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